決勝21點中的機率

今天晚上和學弟們吃飯，席間因為有一對夫妻聖誕節要去Las Vegas，因此話題免不了談到賭博；而大家剛好想到最近的一部電影"決勝21點"之中有一個很有趣的機率問題，但是以直覺來看似乎不是很合邏輯，所以他們還用撲克牌來試驗過。我記得之前有看過其他的網誌寫過同樣的東西，但是為了讓自己想過一遍，還是在這邊試著用簡單的語言來解釋看看：問題是你參加一個猜謎遊戲，是要你在三道門之中選擇一道門；其中有一道門後面有百萬獎金，其餘兩道是空的。假設你選了A門；於是主持人打開了B門，你往內一看是空的。這時候如果主持人問你要不要改變選擇C門或是繼續選A門，請問哪個選擇的中獎機率高？

乍看之下每道門的機率都是三分之一，所以改C門或繼續選A門好像都一樣；但是在電影之中男主角卻是說改選C門，中獎機率會是繼續選A門的一倍！接下來我們就試著用簡單的機率來算算看：
假設事件A = A門後面是大獎
事件B = 主持人把B門打開
所以P(A) = 1/3，因為每道門的中獎機率都是三分之一
P(BA) = 在已知A門後面是大獎的前提下，主持人把B門打開的機率
= 1/2 ，因為主持人知道A門後面有大獎，所以他可以隨機選開另外兩道門其中之一
P(B) = 主持人把B門打開的機率
= 在已知A門後面是大獎的前提下，主持人把B門打開的機率 * A門後面是大獎的機率
+ 在已知C門後面是大獎的前提下，主持人把B門打開的機率 * C門後面是大獎的機率
= (1/2 * 1/3) + (1 * 1/3) = 1/2
這邊說明一下最後一項：在已知C門後面是大獎的前提下，主持人一定只能把B門打開；因為你已經選了A門，所以主持人不會開A門，但是C門後面有大獎，所以主持人一定不會開；因此主持人只能開B門來製造"結果未定"的狀況。
至此，我們就可以算出
P(AB) = 在已知主持人把B門打開的前提下，A門後面是大獎的機率
= P(BA) * P(A) / P(B)
= (1/2 * 1/3) / (1/2) = 1/3
也就是說如果主持人把B門打開的話，A門後面是大獎的機率是1/3，而C門後面是大獎的機率則變成一倍的2/3。用邏輯敘述上來說，主持人開B門，很可能是因為A門有獎所以隨機選B或C門開，或是因為C門有獎所以不得不開B門；換句話說，驅使主持人開B門的因素之中，"因為C門有獎"這項因素的影響力大於"因為A門有獎"。不知道這樣解釋是不是夠清楚哩？